---

Jeg undrer mig lidt over den måde man mange steder angiver fejlen ved en
forkortet taylorserie.
Eksempelvis serien for sin(x) udviklet omkring x=0 ser jeg beskrevet som
sin(x) approx= x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!). Det er rimeligt nok.
Så skriver man at fejlen er ikke mere end (x^9/9!). Ja, ok. Første manglende
led er et sinusled som er nul så første manglende led, som ikke er nul, er
en cosinus af 0, altså 1, ganget med (x^9/9!), så derfor er dette fejlen...
eller nej, det er det jo ikke for der kommer flere led som også bidrager med
fejl. Kun ganske lidt for x<1, men de er der vel stadig, så den præcise fejl
er ikke den angivne, men fejlens størelsesorden er ganske rigtigt den
angivne.

Misforstår jeg noget når jeg opfatter udtalelsen om fejl sådan her?
Et eksempel kan være http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series i sektionen
om konvergens.
I mine øjne er fejlens størelsesorden x^9/9! mens jeg ikke lige kender den
helt absolutte fejl.

---

Jens wrote:
> Eksempelvis serien for sin(x) udviklet omkring x=0 ser jeg beskrevet som
> sin(x) approx= x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!).

f(x) = x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)

Fejlen er |f(x)-sin(x)| men det største bidrag her til (for små x)
kommer fra det næste led x^9/9! Hvorfor du kan bruge dette til at
give et estimat for hvor store x ovenstående udtryk er en god
tilnærmelse.

--
Mvh. Carsten Svaneborg
http://gauss.ffii.org softwarepatent database

---

> Fejlen er |f(x)-sin(x)| men det største bidrag her til (for små x)
> kommer fra det næste led x^9/9! Hvorfor du kan bruge dette til at
> give et estimat for hvor store x ovenstående udtryk er en god
> tilnærmelse.

Så du siger at min tolkning er korrekt? Fejlen er ikke som angivet. Det er
størelsesordenenen af fejlen. Som når man bruger O-notation og kun angiver
største led?

---

Carsten Svaneborg <sslug@zqex.dk> writes:

> Jens wrote:
>> Eksempelvis serien for sin(x) udviklet omkring x=0 ser jeg beskrevet som
>> sin(x) approx= x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!).
>
> f(x) = x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)
>
> Fejlen er |f(x)-sin(x)| men det største bidrag her til (for små x)
> kommer fra det næste led x^9/9! Hvorfor du kan bruge dette til at
> give et estimat for hvor store x ovenstående udtryk er en god
> tilnærmelse.

x^9/9! er ikke alene det største bidrag til fejlen, det er også en
øvre grænse for fejlen. Rækken er alternerende (leddene er skiftevis
positive og negative og deres absolutte størrelse bliver mindre og
mindre), så summen af leddene er altid mindre (absolut set) end det
første led. Bemærk, at hvis x er stort, så vil x^n/n! i starten
stige, men når n>x, begynder det at falde igen. Hvis x < pi/2 er det
selvsagt ikke noget problem.

   Torben