---

Hej Alle,

Jeg har det følgende udtryk

x(t) = a cos(w t) + b sin(w t)

Dette skulle kunne skrives på formen

x(t) = A cos(w t - phi)
hvor phi og A er angivet ved a, b og w.


Er der nogen, der kan hjælpe mig med at få regnet frem til det?

På forhånd tak

---

Jeps!
Og du kan selv prøve at tegne med, idet de to roterende vektorer hele tiden står vinkelret på hinanden. De giver så resultanten A = (a^2 + b^2)^½ (Pythagoras' læresætning) og en vinkelforskydning fi på arctan(b/a). Men med meget matematik er det altid godt at tegne. Jeg kan ikke uden, og jeg har da med mellemrum undervist i stadset siden 1971.
mvh
pbp

---

Den omega, du har med, deltager ikke i regnestykket. den angiver bare den hastighed, hele systemet roterer med, målt i radianer pr. sekund.

---

Hvordan kommer du frem til vinkelforskydningen arctan(b/a) ?

---

Jeg har tegnet figuren og sat bogstaver på. Du tegner a opad og b ud til højre. Resultanten A af de to er en skrå linie med længden kvadratroden af (a^2 + b^2), og når du så regner på de der retvinklede trekanter og har vinkel fi mellem den skrå og den lodrette, så vil tangens til fi være b/a. Eftersom du nu kender a og b, kan du bare knalde dem ind i regnemaskinen. Og så gør det ikke noget, at hele systemet drøner rundt med vinkelhastigheden lille omega = 2 * pi * omdrejningstallet pr. sekund. Det er på den måde, man laver sinus- og cosinusformede strømme og spændinger - både til teknisk brug og til at måle med.
mvh
pbp

---

forresten tak for opgaven. Jeg vil bruge den på mine "unger" i morgen eller overmorgen, afhængigt af, hvor hurtigt vi kommer frem i stoffet.

---

Vinklen fi kan ikke være lig arctan(b/a), det passer ikke, hvis jeg plotter de to funktioner
a cos(wt)+ b sin(wt) og sqrt(a^2+ b^2) cos(wt - fi)
Men hvis jeg istedet benytter fi = arccos(b/a), så passer det

Jeg forstår iøvrigt ikke, hvorfor vinklen fi er mellem den lodrette og den skrå

---

Der var jeg lige hurtig nok, det passer med arctan(b/a) og ikke arccos(b/a), sorry...

Men jeg er stadig ikke med på, hvorfor vinklen fi er mellem den lodrette og den skrå

---

De der sinus- og cosinusfunktioner er jo projektioner eller skyggebilleder af nogle vektorer. I dit tilfælde den ene med længden a og den anden med længden b. I din situation er de låst fast 90 grader = pi/2 radianer fra hinanden og roterer med en hastighed på w(omega) radianer pr. sekund. Resultantvektoren er den diagonal, du kan tegne, hvis du gør rektanglen med siderne a og b færdig. Hvi9s vi blir mere konkrete, så forestil dig, at a = 4, b = 2. Vi tager et øjebliksbillede når w*t = 0 (eller 2*pi, 4*pi, ....). Her har du en pind stående lodret med højden 4 og én liggende vandret med længden 2. Resultanten af de to er en skrå pind med længden 4.47, og den stritter op med en vinkel til vandret på 63.43 grader (1.107 radianer). Vinkelforskellen til den lodrette pind (fi) er 26.57 grader (0.4636 radianer), og det fandt jeg som tan^-1(2/4) = arctan(b/a).
Du kan gøre prøve ved at finde funktionsværdien på det tidspunkt, hvor w*t = 0.4636
x(t) = 4 * cos 0.4636 + 2 * sin 0.4636 = 4.47

x(t) = 4.47 * cos(0.4636 - 0.4636) = 4.47

Som du ser, oasser det nydeligt, og det vil det gøre for enhver værdi af (w*t), du forsøger med. Om det dur som matematisk bevis i din situation, aner jeg ikke, men det passer i hvert fald.
mvh
pbp

---

Jeg skal lige forstå det helt.

Når w t = 0, så er den ene komposant lig a cos(0) = a og den anden er b sin(0) = 0. Hvordan får du så en lodret komposant på a = 4 og en vandret på b = 2?
Jeg får en komposant, den vandrette, som er lig a cos(0) = a

---

Jaja, men hvis du sætter tal ind, f. eks. for t = 0, ser du, at du har et output/funktionsværdi = 4, så derfor! Alle de af mine studerende, som heller ikke kunne løse den, tegnede heller ikke.

---

Nu tror jeg, at jeg har den:

t = 0 =>
x(0) = a cos 0 + b sin 0 = a
x(0) = A cos(-phi) = A cos(phi)
A cos(phi) = a
cos(phi) = a/A
phi = arccos(a/A)

Mange tak for hjælpen!!!   

Eftersom du ikke er logget ind i systemet, kan du ikke skrive et indlæg til dette spørgsmål.

Hvis du ikke allerede er registreret, kan du gratis blive medlem, ved at trykke på "Bliv medlem" ude i menuen.